Permutationは「順列」、Combinationは「組み合わせ」と訳される。
教科書では、
「a,b,c,dの4個の文字の中から、異なる３個をとって１列に並べる」
「７人の生徒から３人を選んで１列に並べる」
「男子３人、女子2人が1列に並ぶとき女子2人が隣り合うような並び方は何通りあるか」
「5人を、2つの部屋A, Bに入れる方法は何通りあるか、ただし、一人も入らない部屋があってもよいものとする」
「12色の鉛筆から５色の色鉛筆を選ぶ方法」
「正六角形の６個の頂点のうちの３個を頂点とする三角形の個数」
「男子１０人、女子６人の中から、５人を選ぶとき、（１）男子３人と女子2人を選ぶ（２）男子が少なくとも1人含まれる 選び方はそれぞれ何通りか」
などという例が使われている。
これらについて、permutation, combination,和の法則、積の法則を使って計算する方法が説明される。
私は授業でそれをぼーっと聞きながら、『しらみつぶしに数えなくても、数えきれないような場合でも、こうやって計算できて便利なんだな』と思いながらも、『どんな時にこんな計算が必要になるのだろう』という疑問というか、無力感に苛まれて、真面目に勉強する気にならなかった。
それは順列組み合わせだけでなく、ベクトル、三角関数、指数関数、対数関数、数列、微分積分すべてに言えることである。
高校生になると数学はどんどん複雑になり、直観やしらみつぶしが通用しなくなってくる。
今、「ワンペア問題」を考えていて、PermutationとCombinationについてあらためて考えなおしている。
「a,b,c の３つの文字から2つを選んで並べる組み合わせはいくつあるか」
a,b
a,c
b,c
３つ。
では、a,b,c,dの４つから2つだったら？
a,b
a,c
a,d
b,c
b,d
c,d
6つ。
高校生だった私は、この手のことを考える必要性に悩まされた。
当時は単なる怠け心だとしか思わず、勉強とは、生きるとは、成長するとはそういう疑問を持たないことだと言い聞かせるものの、結局それに打ち勝てなかった。
そのころに、「人間が生きる目的は何か」ということを考えるようになったのも、哲学に興味を持ち始めたのも、無意味に思えることを考える必要性がわからなかったからなのだと、今になってみるとわかる。
「数学なんか生活に必要ない」なんて言うと、いかにもバカで怠惰なろくでもない奴のようで、私自身もそういう考えは嫌いで、勉強とは学問とは生活に必要だからするようなものではないと思ってはいたが、果たして必死に「勉強」している級友たちがそんな高尚なことを考えていたとは思えない。
むしろ彼らはそんなことを考えもせず、勉強というのは受験であり受験とは生存競争であり椅子取りゲームであると割り切って、四の五の言わずに定番問題集を解いて過去問を解きまくって、パターンを覚えて、どんな難しい問題もすべて何かのパターンにあてはめれば解ける、という生き方を選んでいただけではなかったのか。
その証拠に彼らは、授業でキェルケゴールやカントやベーコンが出てきても、国語の教科書に舞姫や伊勢物語や源氏物語や史記や論語が載っていても、その本の一部が載っているだけなのに、それらに興味を示さず、「こんなの試験に出ない」と言って、授業を聞きながら受験用の参考書の問題集を解いたりしていた。
わたしが「a, b, c をならべる組み合わせはいくつあるか」ということに興味を示さないことと、彼らが「絶望とは死に至る病である」ということに興味を示さないことにどんな違いがあるのか。どちらが怠惰だったのか。
全部交換する（やり直し）
全部交換の場合は簡単じゃないかな。
下記のような残りのカードがあって、
C1-2,C1-3,C1-4
C2-2,C2-3,C2-4
....
C5-2,C5-3,C5-4
C6-1,C6-2,C6-3,C6-4
...
C13-1,C13-2,C13-3,C13-4
そこから5枚を選んでワンペアができればよくて、
手札は考慮しなくてよいから、
5種類については3パターン、
8種類については6パターン、
で、5枚選ぶので、
5*3*combin(45,3) + 8*6*combin(45,3) = 893970
確率は、893970 / combin(47,5) = 0.582794
1枚交換： 0.255
2枚交換： 0.408
3枚交換： 0.385
4枚交換： 0.772 ☆
5枚交換： 0.583
というわけで、4枚交換が最善という結果になった。
ちなみに前回の計算結果は
1枚交換： 0.255 （同じ）
2枚交換： 0.438
3枚交換： 0.580
4枚交換： 0.706 ☆
5枚交換： 0.583 （同じ）
3枚交換の場合の今回の結果がおかしいかな？
下記のような残りのカードがあって、
C1-2,C1-3,C1-4
C2-2,C2-3,C2-4
....
C5-2,C5-3,C5-4
C6-1,C6-2,C6-3,C6-4
...
C13-1,C13-2,C13-3,C13-4
そこから5枚を選んでワンペアができればよくて、
手札は考慮しなくてよいから、
5種類については3パターン、
8種類については6パターン、
で、5枚選ぶので、
5*3*combin(45,3) + 8*6*combin(45,3) = 893970
確率は、893970 / combin(47,5) = 0.582794
1枚交換： 0.255
2枚交換： 0.408
3枚交換： 0.385
4枚交換： 0.772 ☆
5枚交換： 0.583
というわけで、4枚交換が最善という結果になった。
ちなみに前回の計算結果は
1枚交換： 0.255 （同じ）
2枚交換： 0.438
3枚交換： 0.580
4枚交換： 0.706 ☆
5枚交換： 0.583 （同じ）
また今度。
2枚交換する（やり直し）
手札を C1-1,C2-1,C3-1,C4-1,C5-1 とする。
残りのカードを、
C1-2,C1-3,C1-4
C2-2,C2-3,C2-4
....
C5-2,C5-3,C5-4
C6-1,C6-2,C6-3,C6-4
...
C13-1,C13-2,C13-3,C13-4
とする。
捨てる2枚のカードを、
C1-1,C2-1とする。
手札に残るのは C3-1, C4-1,C5-1
ワンペアができるケースは以下２つの場合のいずれかである。
１．取った2枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）
２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。
※以下で求める場合の数はすべて順序を考慮しない。
（ことなる順序で同じ組み合わせは同じとみなす）
「１．取った2枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）」
取ったカードの中にペアとなる2枚が含まれる場合の数を数える。
ペアとなるのはC1,C2,....C13の13種類のカードの、同じ種類のものが2枚（以上）そろった場合である。
C1～C5は残り3枚なので、その組み合わせは3。
C6～C13は残り4枚なので、その組み合わせは6。
全部足すと、5*3 + 8*6 = 15+ 48 = 63
ゆえに、2枚とったときにその中でワンぺアができる（ただし手札とペアになるカードを含まない）場合の数は
63 ....①
「２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。」
手札に残っている3種類（C3, C4, C5）の、残り3枚のカードのどれかが含まれてさえいればよい。
そのカードとは下記の9枚である。
C3-2, C3-3, C3-4, C4-2, C4-3, C4-4, C5-2, C5-3, C5-4
列挙する。（38)というのは、残り38枚の組み合わせという意味。
手札と合わせてペアになれるカード以外のカードが38枚ある。
これら9枚のうち1枚と、その他38枚のどれかの組み合わせと、
これら9枚のうち2枚を選ぶ組み合わせの合計だから、
38*9 + combin(9,2) =378 ... ②
①に②は含まれない。
②には、「取った2枚の中でペアができる」ものも含まれるが、
①で手札とペアになるカードを除外しているので、①と②が重複することはない。
よって、2枚交換する場合にワンペアができる場合の数（順序を考慮しない）は、
63 + 378 = 441
残り47枚から2枚を選ぶ場合の数（順序を考慮しない）は
combin(47,2) = 1081
求める確率は、 441 / 1081 ≒ 0.408
残りのカードを、
C1-2,C1-3,C1-4
C2-2,C2-3,C2-4
....
C5-2,C5-3,C5-4
C6-1,C6-2,C6-3,C6-4
...
C13-1,C13-2,C13-3,C13-4
とする。
捨てる2枚のカードを、
C1-1,C2-1とする。
手札に残るのは C3-1, C4-1,C5-1
ワンペアができるケースは以下２つの場合のいずれかである。
１．取った2枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）
２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。
※以下で求める場合の数はすべて順序を考慮しない。
（ことなる順序で同じ組み合わせは同じとみなす）
「１．取った2枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）」
取ったカードの中にペアとなる2枚が含まれる場合の数を数える。
ペアとなるのはC1,C2,....C13の13種類のカードの、同じ種類のものが2枚（以上）そろった場合である。
C1～C5は残り3枚なので、その組み合わせは3。
C6～C13は残り4枚なので、その組み合わせは6。
全部足すと、5*3 + 8*6 = 15+ 48 = 63
ゆえに、2枚とったときにその中でワンぺアができる（ただし手札とペアになるカードを含まない）場合の数は
63 ....①
「２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。」
手札に残っている3種類（C3, C4, C5）の、残り3枚のカードのどれかが含まれてさえいればよい。
そのカードとは下記の9枚である。
C3-2, C3-3, C3-4, C4-2, C4-3, C4-4, C5-2, C5-3, C5-4
列挙する。（38)というのは、残り38枚の組み合わせという意味。
手札と合わせてペアになれるカード以外のカードが38枚ある。
これら9枚のうち1枚と、その他38枚のどれかの組み合わせと、
これら9枚のうち2枚を選ぶ組み合わせの合計だから、
38*9 + combin(9,2) =378 ... ②
①に②は含まれない。
②には、「取った2枚の中でペアができる」ものも含まれるが、
①で手札とペアになるカードを除外しているので、①と②が重複することはない。
よって、2枚交換する場合にワンペアができる場合の数（順序を考慮しない）は、
63 + 378 = 441
残り47枚から2枚を選ぶ場合の数（順序を考慮しない）は
combin(47,2) = 1081
求める確率は、 441 / 1081 ≒ 0.408
4枚交換する（やり直し）
自分的には一番オッズの高い4枚交換。
手札を C1-1,C2-1,C3-1,C4-1,C5-1 とする。
残りのカードを、
C1-2,C1-3,C1-4
C2-2,C2-3,C2-4
....
C5-2,C5-3,C5-4
C6-1,C6-2,C6-3,C6-4
...
C13-1,C13-2,C13-3,C13-4
とする。
ここまでは他と同じ
捨てる4枚のカードを、
C1-1,C2-1,C3-1,C4-1とする。
手札に残るのは C5-1
ワンペアができるケースは以下２つの場合のいずれかである。
１．取った4枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）
２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。
※以下で求める場合の数はすべて順序を考慮しない。
（ことなる順序で同じ組み合わせは同じとみなす）
（条件が違うだけで3枚交換の場合と同じ考え方でいけるだろうか？）
ワンペアができるケースは以下２つの場合のいずれかである。
１．取った4枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）
２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。
※以下で求める場合の数はすべて順序を考慮しない。
（ことなる順序で同じ組み合わせは同じとみなす）
「１．取った4枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）」
取ったカードの中にペアとなる2枚が含まれる場合の数を数える。
ペアとなるのはC1,C2,....C13の13種類のカードの、同じ種類のものが2枚（以上）そろった場合である。
C1～C5は残り3枚なので、その組み合わせは3。
C6～C13は残り4枚なので、その組み合わせは6。
全部足すと、5*3 + 8*6 = 15+ 48 = 63
この63通りというのは、2つの組み合わせなので、
4枚とる組み合わせにこの組み合わせが含まれる場合は、
2枚取った残りの45通り*44通りあるが、
そのうち手札とペアになるカード（3枚）を除くので、42通り*41通りになる。
ゆえに、3枚とったときにその中でワンぺアができる（ただし手札とペアになるカードを含まない）場合の数は
63 * 42 * 41 = 108486 ... ①
「２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。」
手札に残っている1種類（C5）の、残り3枚のカードのどれかが含まれてさえいればよい。
そのカードとは下記の3枚である。
C5-2,C5-3,C5-4
列挙する。（44)というのは、47枚残った中から手札とペアを作れる3枚を除いた
残り44枚の組み合わせという意味。
C5-2,combin(44,3)
C5-2,C5-3,combin(44,2)
C5-2,C5-3,C5-4,(44)
C5-2,C5-4,combin(44,2)
-----
combin(44,3)
+
2*combin(44,2)
+
44
C5-3,combin(44,3)
C5-3,C5-4,combin(44,2)
-----
combin(44,3)
+
combin(44,2)
2*combin(44,3) + 3*combin(44,2) + 44 = 29370...②
①に②は含まれない。
②には、「取った3枚の中でペアができる」ものも含まれるが、
①で手札とペアになるカードを除外しているので、①と②が重複することはない。
よって、3枚交換する場合にワンペアができる場合の数（順序を考慮しない）は、
108486 + 29370 = 137856
残り47枚から4枚を選ぶ場合の数（順序を考慮しない）は
combin(47,4) = 178365
求める確率は、 137856/178365 = 0.772887
手札を C1-1,C2-1,C3-1,C4-1,C5-1 とする。
残りのカードを、
C1-2,C1-3,C1-4
C2-2,C2-3,C2-4
....
C5-2,C5-3,C5-4
C6-1,C6-2,C6-3,C6-4
...
C13-1,C13-2,C13-3,C13-4
とする。
ここまでは他と同じ
捨てる4枚のカードを、
C1-1,C2-1,C3-1,C4-1とする。
手札に残るのは C5-1
ワンペアができるケースは以下２つの場合のいずれかである。
１．取った4枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）
２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。
※以下で求める場合の数はすべて順序を考慮しない。
（ことなる順序で同じ組み合わせは同じとみなす）
（条件が違うだけで3枚交換の場合と同じ考え方でいけるだろうか？）
ワンペアができるケースは以下２つの場合のいずれかである。
１．取った4枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）
２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。
※以下で求める場合の数はすべて順序を考慮しない。
（ことなる順序で同じ組み合わせは同じとみなす）
「１．取った4枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）」
取ったカードの中にペアとなる2枚が含まれる場合の数を数える。
ペアとなるのはC1,C2,....C13の13種類のカードの、同じ種類のものが2枚（以上）そろった場合である。
C1～C5は残り3枚なので、その組み合わせは3。
C6～C13は残り4枚なので、その組み合わせは6。
全部足すと、5*3 + 8*6 = 15+ 48 = 63
この63通りというのは、2つの組み合わせなので、
4枚とる組み合わせにこの組み合わせが含まれる場合は、
2枚取った残りの45通り*44通りあるが、
そのうち手札とペアになるカード（3枚）を除くので、42通り*41通りになる。
ゆえに、3枚とったときにその中でワンぺアができる（ただし手札とペアになるカードを含まない）場合の数は
63 * 42 * 41 = 108486 ... ①
「２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。」
手札に残っている1種類（C5）の、残り3枚のカードのどれかが含まれてさえいればよい。
そのカードとは下記の3枚である。
C5-2,C5-3,C5-4
列挙する。（44)というのは、47枚残った中から手札とペアを作れる3枚を除いた
残り44枚の組み合わせという意味。
C5-2,combin(44,3)
C5-2,C5-3,combin(44,2)
C5-2,C5-3,C5-4,(44)
C5-2,C5-4,combin(44,2)
-----
combin(44,3)
+
2*combin(44,2)
+
44
C5-3,combin(44,3)
C5-3,C5-4,combin(44,2)
-----
combin(44,3)
+
combin(44,2)
2*combin(44,3) + 3*combin(44,2) + 44 = 29370...②
①に②は含まれない。
②には、「取った3枚の中でペアができる」ものも含まれるが、
①で手札とペアになるカードを除外しているので、①と②が重複することはない。
よって、3枚交換する場合にワンペアができる場合の数（順序を考慮しない）は、
108486 + 29370 = 137856
残り47枚から4枚を選ぶ場合の数（順序を考慮しない）は
combin(47,4) = 178365
求める確率は、 137856/178365 = 0.772887
3枚交換する（やり直し）
手札を C1-1,C2-1,C3-1,C4-1,C5-1 とする。
残りのカードを、
C1-2,C1-3,C1-4
C2-2,C2-3,C2-4
....
C5-2,C5-3,C5-4
C6-1,C6-2,C6-3,C6-4
...
C13-1,C13-2,C13-3,C13-4
とする。
捨てる3枚のカードを、
C1-1,C2-1,C3-1とする。
手札に残るのは C4-1,C5-1
ワンペアができるケースは以下２つの場合のいずれかである。
１．取った3枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）
２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。
※以下で求める場合の数はすべて順序を考慮しない。
（ことなる順序で同じ組み合わせは同じとみなす）
「１．取った3枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）」
取ったカードの中にペアとなる2枚が含まれる場合の数を数える。
ペアとなるのはC1,C2,....C13の13種類のカードの、同じ種類のものが2枚（以上）そろった場合である。
C1～C5は残り3枚なので、その組み合わせは3。
C6～C13は残り4枚なので、その組み合わせは6。
全部足すと、5*3 + 8*6 = 15+ 48 = 63
この63通りというのは、2つの組み合わせなので、
3枚とる組み合わせにこの組み合わせが含まれる場合は、
2枚取った残りの45通りあるが、
そのうち手札とペアになるカードを除くので、39通りになる。
ゆえに、3枚とったときにその中でワンぺアができる（ただし手札とペアになるカードを含まない）場合の数は
39 * 63 = 2457 ....①
「２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。」
手札に残っている2種類 C4,C5 の、残り3枚のカードのどれかが含まれてさえいればよい。
そのカードとは下記の6枚である。
C4-2, C4-3, C4-4, C5-2, C5-3, C5-4
列挙する。（41)というのは、残り41枚の組み合わせという意味。
手札と合わせてペアになれるカード以外のカードが41枚ある。
C4-2, * combin(41,2)
C4-2,C4-3,(41)
C4-2,C4-3,C4-4
C4-2,C4-3,C5-2
C4-2,C4-3,C5-3
C4-2,C4-3,C5-4
C4-2,C4-4,(41)
C4-2,C4-4,C5-2
C4-2,C4-4,C5-3
C4-2,C4-4,C5-4
C4-2,C5-2,(41)
C4-2,C5-2,C5-3
C4-2,C5-2,C5-4
C4-2,C5-3,(41)
C4-2,C5-3,C5-4
C4-2,C5-4,(41)
-----
combin(41,2)
+
41*5
+
10
C4-3,combin(41,2)
C4-3,C4-4,(41)
C4-3,C4-4,C5-2
C4-3,C4-4,C5-3
C4-3,C4-4,C5-4
C4-3,C5-2,(41)
C4-3,C5-2,C5-3
C4-3,C5-2,C5-4
C4-3,C5-3,(41)
C4-3,C5-3,C5-4
C4-3,C5-4,(41)
-----
combin(41,2)
+
41*4
+
6
C5-2,combin(41,2)
C5-2,C5-3,(41)
C5-2,C5-3,C5-4
C5-2,C5-4,(41)
-----
combin(41,2)
+
41*2
+
1
C5-3,combin(41,2)
C5-3,C5-4,(41)
-----
combin(41,2)
+
41
combin(41,2)*4 + 41*12 + 17 = 3789 ... ②
①に②は含まれない。
②には、「取った3枚の中でペアができる」ものも含まれるが、
①で手札とペアになるカードを除外しているので、①と②が重複することはない。
よって、3枚交換する場合にワンペアができる場合の数（順序を考慮しない）は、
2457 + 3789 = 6246
残り47枚から3枚を選ぶ場合の数（順序を考慮しない）は
combin(47,3) = 16215
求める確率は、 6246/16215 = 0.385199
残りのカードを、
C1-2,C1-3,C1-4
C2-2,C2-3,C2-4
....
C5-2,C5-3,C5-4
C6-1,C6-2,C6-3,C6-4
...
C13-1,C13-2,C13-3,C13-4
とする。
捨てる3枚のカードを、
C1-1,C2-1,C3-1とする。
手札に残るのは C4-1,C5-1
ワンペアができるケースは以下２つの場合のいずれかである。
１．取った3枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）
２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。
※以下で求める場合の数はすべて順序を考慮しない。
（ことなる順序で同じ組み合わせは同じとみなす）
「１．取った3枚のカードの中でペアができる。（ただし、手札とペアになるカードは含まない）」
取ったカードの中にペアとなる2枚が含まれる場合の数を数える。
ペアとなるのはC1,C2,....C13の13種類のカードの、同じ種類のものが2枚（以上）そろった場合である。
C1～C5は残り3枚なので、その組み合わせは3。
C6～C13は残り4枚なので、その組み合わせは6。
全部足すと、5*3 + 8*6 = 15+ 48 = 63
この63通りというのは、2つの組み合わせなので、
3枚とる組み合わせにこの組み合わせが含まれる場合は、
2枚取った残りの45通りあるが、
そのうち手札とペアになるカードを除くので、39通りになる。
ゆえに、3枚とったときにその中でワンぺアができる（ただし手札とペアになるカードを含まない）場合の数は
39 * 63 = 2457 ....①
「２．取ったカードと手札を合わせてペアができる。」
手札に残っている2種類 C4,C5 の、残り3枚のカードのどれかが含まれてさえいればよい。
そのカードとは下記の6枚である。
C4-2, C4-3, C4-4, C5-2, C5-3, C5-4
列挙する。（41)というのは、残り41枚の組み合わせという意味。
手札と合わせてペアになれるカード以外のカードが41枚ある。
C4-2, * combin(41,2)
C4-2,C4-3,(41)
C4-2,C4-3,C4-4
C4-2,C4-3,C5-2
C4-2,C4-3,C5-3
C4-2,C4-3,C5-4
C4-2,C4-4,(41)
C4-2,C4-4,C5-2
C4-2,C4-4,C5-3
C4-2,C4-4,C5-4
C4-2,C5-2,(41)
C4-2,C5-2,C5-3
C4-2,C5-2,C5-4
C4-2,C5-3,(41)
C4-2,C5-3,C5-4
C4-2,C5-4,(41)
-----
combin(41,2)
+
41*5
+
10
C4-3,combin(41,2)
C4-3,C4-4,(41)
C4-3,C4-4,C5-2
C4-3,C4-4,C5-3
C4-3,C4-4,C5-4
C4-3,C5-2,(41)
C4-3,C5-2,C5-3
C4-3,C5-2,C5-4
C4-3,C5-3,(41)
C4-3,C5-3,C5-4
C4-3,C5-4,(41)
-----
combin(41,2)
+
41*4
+
6
C5-2,combin(41,2)
C5-2,C5-3,(41)
C5-2,C5-3,C5-4
C5-2,C5-4,(41)
-----
combin(41,2)
+
41*2
+
1
C5-3,combin(41,2)
C5-3,C5-4,(41)
-----
combin(41,2)
+
41
combin(41,2)*4 + 41*12 + 17 = 3789 ... ②
①に②は含まれない。
②には、「取った3枚の中でペアができる」ものも含まれるが、
①で手札とペアになるカードを除外しているので、①と②が重複することはない。
よって、3枚交換する場合にワンペアができる場合の数（順序を考慮しない）は、
2457 + 3789 = 6246
残り47枚から3枚を選ぶ場合の数（順序を考慮しない）は
combin(47,3) = 16215
求める確率は、 6246/16215 = 0.385199
全部交換する
COMBIN(3,2)*COMBIN(45,3)+8*COMBIN(4,2)*COMBIN(45,3)
だと思うのだが・・・
分母は combin(47,5)で、確率を出すと
約 0.58279371となる。
というわけで、不完全なのだが、
やっぱり1枚残して4枚交換が一番ワンペアができやすいという結果になった。
私が知りたいのと同じことを某所で質問している人がいて、
答えが一応でていて、やはり1枚残して４枚交換が最善という結論になっているのだが私の計算した確率とはだいぶ違っている。
私の計算にはあまり自信がない。
またヒマを見つけて考え直してみたい。
だと思うのだが・・・
分母は combin(47,5)で、確率を出すと
約 0.58279371となる。
というわけで、不完全なのだが、
やっぱり1枚残して4枚交換が一番ワンペアができやすいという結果になった。
私が知りたいのと同じことを某所で質問している人がいて、
答えが一応でていて、やはり1枚残して４枚交換が最善という結論になっているのだが私の計算した確率とはだいぶ違っている。
私の計算にはあまり自信がない。
またヒマを見つけて考え直してみたい。
3枚交換する（改）
（残した札がペアになる組合せ数）= s1
または
（交換した札のなかでペアになる）= s2
ただし
（ツーペア）=s3 を除く
s1 = 2 * 3 * combin(46,2)
s2 = 11 * combin(4,2) * 45
s3 = 2 * 3 * combin(11,1) * combin(4,2)
分母 b = combin(47,3)
確率は
(s1+s2-s3) / b ≒ 0.580314811
（2020/7/19追記）
再考。
１．取った3枚の中でペアができる
２．手札のどれかがとった3枚のどれかとペアになる
まず「１．取った3枚でペア」
A群（残り3枚、5種類）
47枚から3枚取り、その中に特定の15枚を2枚以上含む場合。
B群（残り4枚、8種類）
47枚から3枚取り、その中に特定の32枚を2枚以上含む場合。
A群から。
C1-2,C1-3,（残り45枚）
C1-2,C1-4,（残り45枚）
C1-3,C1-4,（残り45枚）
45パターン * 3 * 5種類
さらに、順番違いを数えると
45 * 3 * 5 * 6 = 45 * 15 * 6 = 45 * 90 = 4050
B群。
C6-1,C6-2,（残り45枚）
C6-1,C6-3,(45)
C6-1,C6-4,(45)
C6-2,C6-3,(45)
C6-2,C6-4,(45)
C6-3,C6-4,(45)
6 * 45 * 8 * 6 = 6 * 45 * 48 = 12960
A群とB群を足して、「１．取った3枚でペア」は、17010 通り
次、「２．手札がペア」
ペアとなれる候補は、
2種類3枚ずつ、合計6枚。
C1-2,C1-3,C1-4
C2-2,C2-3,C2-4
47枚から3枚とって、その中に上記6枚のうちの1枚が含まれる場合。
C1-2,(46),(45)
C1-3,(46),(45)
....
46*45*6 * 6 = 46*45*36 = 74520 通り
そして、１．と２．を同時に満たす場合。
つまり、スリーカードまたはフォーカード。
C1-2,C1-3,(45)
C1-2,C1-4,(45)
C1-3,C1-4,(45)
C2も同様
3 * 45 * 2 * 6 = 135 * 12 = 1620
この中にフォーカードも含まれる
たとえば C1-2,C1-3,C1-4 とか。
「3枚交換でワンペアができる場合の数」は
17010 + 74520 -1620 = 89910
確率は 89910 / Permut(47,3) = 89910 / 97290 ≒ 0.92
こんな高くないよね....
(2020/7/20追記）
もっとシンプルに考えよう。
残り47枚から3枚選ぶ。
ワンペアになれるカードは、手札に残した2種類の、残り3枚ずつの、6枚。
だから、条件に当てはまる場合の数というのは、
「47枚のカードから3枚選んだ時に、特定の6枚が少なくとも1枚含まれる場合」
となる。
「47枚から1枚を選ぶときに、特定の6枚のどれかを選ぶ確率」だったら、
6/47で、簡単だ。
それを3回続ける、と思いかけたが、1枚選んだらそれを除外するから、
さいころを3回振るような場合とは違う。
特定の6枚を選んだ場合を〇、選ばなかった場合をⅩで表すと、
〇〇〇
〇〇×
〇××
×〇〇
×〇×
××〇
のどれでもよい。
〇〇〇 ... 6/47, 5/46, 4/45
〇〇× ... 6/47, 5/46, 41/45
〇×× ... 6/47, 41/46, 40/45
×〇〇 ... 41/47, 6/46, 5/45
×〇× ... 41/47, 6/46, 40/45
××〇 ... 41/47, 40/46, 6/45
上記6パターンは同時には起こらず、（事象A または 事象B）
各パターンの〇×は同時に起こるから、（事象A かつ 事象B）
6/47 * 5/46 * 4/45
+
6/47 * 5/46 * 41/45
+
（交換した札のなかでペアになる）= s2
ただし
（ツーペア）=s3 を除く
s1 = 2 * 3 * combin(46,2)
s2 = 11 * combin(4,2) * 45
s3 = 2 * 3 * combin(11,1) * combin(4,2)
分母 b = combin(47,3)
確率は
(s1+s2-s3) / b ≒ 0.580314811
（2020/7/19追記）
再考。
１．取った3枚の中でペアができる
２．手札のどれかがとった3枚のどれかとペアになる
まず「１．取った3枚でペア」
A群（残り3枚、5種類）
47枚から3枚取り、その中に特定の15枚を2枚以上含む場合。
B群（残り4枚、8種類）
47枚から3枚取り、その中に特定の32枚を2枚以上含む場合。
A群から。
C1-2,C1-3,（残り45枚）
C1-2,C1-4,（残り45枚）
C1-3,C1-4,（残り45枚）
45パターン * 3 * 5種類
さらに、順番違いを数えると
45 * 3 * 5 * 6 = 45 * 15 * 6 = 45 * 90 = 4050
B群。
C6-1,C6-2,（残り45枚）
C6-1,C6-3,(45)
C6-1,C6-4,(45)
C6-2,C6-3,(45)
C6-2,C6-4,(45)
C6-3,C6-4,(45)
6 * 45 * 8 * 6 = 6 * 45 * 48 = 12960
A群とB群を足して、「１．取った3枚でペア」は、17010 通り
次、「２．手札がペア」
ペアとなれる候補は、
2種類3枚ずつ、合計6枚。
C1-2,C1-3,C1-4
C2-2,C2-3,C2-4
47枚から3枚とって、その中に上記6枚のうちの1枚が含まれる場合。
C1-2,(46),(45)
C1-3,(46),(45)
....
46*45*6 * 6 = 46*45*36 = 74520 通り
そして、１．と２．を同時に満たす場合。
つまり、スリーカードまたはフォーカード。
C1-2,C1-3,(45)
C1-2,C1-4,(45)
C1-3,C1-4,(45)
C2も同様
3 * 45 * 2 * 6 = 135 * 12 = 1620
この中にフォーカードも含まれる
たとえば C1-2,C1-3,C1-4 とか。
「3枚交換でワンペアができる場合の数」は
17010 + 74520 -1620 = 89910
確率は 89910 / Permut(47,3) = 89910 / 97290 ≒ 0.92
こんな高くないよね....
(2020/7/20追記）
もっとシンプルに考えよう。
残り47枚から3枚選ぶ。
ワンペアになれるカードは、手札に残した2種類の、残り3枚ずつの、6枚。
だから、条件に当てはまる場合の数というのは、
「47枚のカードから3枚選んだ時に、特定の6枚が少なくとも1枚含まれる場合」
となる。
「47枚から1枚を選ぶときに、特定の6枚のどれかを選ぶ確率」だったら、
6/47で、簡単だ。
それを3回続ける、と思いかけたが、1枚選んだらそれを除外するから、
さいころを3回振るような場合とは違う。
特定の6枚を選んだ場合を〇、選ばなかった場合をⅩで表すと、
〇〇〇
〇〇×
〇××
×〇〇
×〇×
××〇
のどれでもよい。
〇〇〇 ... 6/47, 5/46, 4/45
〇〇× ... 6/47, 5/46, 41/45
〇×× ... 6/47, 41/46, 40/45
×〇〇 ... 41/47, 6/46, 5/45
×〇× ... 41/47, 6/46, 40/45
××〇 ... 41/47, 40/46, 6/45
上記6パターンは同時には起こらず、（事象A または 事象B）
各パターンの〇×は同時に起こるから、（事象A かつ 事象B）
6/47 * 5/46 * 4/45
+
6/47 * 5/46 * 41/45
+
6/47 * 41/46 * 40/45
+
+
41/47 * 6/46 * 5/45
+
+
41/47 * 6/46 * 40/45
+
+
41/47 * 40/46 * 6/45
じゃないか？
excelで計算したら、0.329941となった。
「3枚交換したときにワンペアができる確率は33%」
って、直感的にも正しそうな気がする。
じゃないか？
excelで計算したら、0.329941となった。
「3枚交換したときにワンペアができる確率は33%」
って、直感的にも正しそうな気がする。